关于映射的一些理解与常见命题
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写在前面一些定义映射的有关定义单射满射双射逆映射
一点理解一些命题与定理命题1：有限集合间建立双射，两集合元素个数相等证明
命题2：有限集的单射与满射可由元素数相等互相推出证 明
定理1：映射是可逆的当且仅当其为双射证 明
题外话
写在前面
映射在高中作为一个不需要深入理解的内容，那时候只知道映射是函数的推广。但在大学的数学学习中，映射的概念贯穿了分析、代数等多个学科，下面详细介绍一下映射以及一些关于映射的一些定理。部分内容参考丘维声教授所著《数学的思维方式与创新》一书的引言部分。
一些定义
映射的有关定义
设
A
A
A和
B
B
B是两个集合，如果集合
A
A
A到集合
B
B
B存在一个对应法则
f
f
f，使得
A
A
A中每一元素
a
a
a，都有
B
B
B中唯一确定的一个元素
b
b
b与之对应，那么称
f
f
f是集合
A
A
A到集合
B
B
B的一个映射，记作
f
:
A
→
B
,
a
↦
b
,
f
(
a
)
=
b
,
a
∈
A
,
\begin{aligned} f:A&\to B,\\ a&\mapsto b,\\ f(a)&=b,\quad a\in A, \end{aligned}
f:Aaf(a)→B,↦b,=b,a∈A, 其中
b
b
b称为
a
a
a在
f
f
f下的像，
a
a
a称为
b
b
b在
f
f
f下的一个原像。
设
f
f
f是集合
A
A
A到集合
B
B
B的一个映射，则把
A
A
A叫做
f
f
f的定义域，把
B
B
B叫做
f
f
f的陪域。
一个映射
f
:
A
→
B
f:A\to B
f:A→B由定义域、陪域、对应法则三部分组成。
一般地，设
f
f
f是集合
A
A
A到集合
B
B
B的一个映射，称
A
A
A的所有元素在
f
f
f下的像组成的集合称为
f
f
f的值域（像集），记作
f
(
A
)
f(A)
f(A)，即
f
(
A
)
:
=
{
f
(
a
)
∣
a
∈
A
}
f(A):=\{f(a)\,|\,a\in A\}
f(A):={f(a)∣a∈A} 易知，
f
(
A
)
⊆
B
f(A)\subseteq B
f(A)⊆B，即
f
f
f的值域是
f
f
f陪域的子集。
单射
一般地，设
f
f
f是集合
A
A
A到集合
B
B
B的一个映射，如果
A
A
A中不同元素在
f
f
f下的像不同，那么称
f
f
f是单射。
满射
一般地，设
f
f
f是集合
A
A
A到集合
B
B
B的一个映射，如果
f
f
f的值域
f
(
A
)
f(A)
f(A)与
f
f
f的陪域
B
B
B相等，那么称
f
f
f是满射。
双射
一般地，设
f
f
f是集合
A
A
A到集合
B
B
B的一个映射，如果
f
f
f既是满射又是单射，那么称
f
f
f是双射（或者称
f
f
f是
A
A
A与
B
B
B之间的一个一一对应）。
逆映射
设
f
f
f是集合
A
A
A到集合
B
B
B的一个映射，如果对于
B
B
B中每一个元素
b
b
b，都有
A
A
A中唯一的元素
a
a
a，使得
f
(
a
)
=
b
f(a)=b
f(a)=b，那么把
b
b
b对应到
a
a
a的映射
g
g
g称为
f
f
f的逆映射，并将
g
g
g记作
f
−
1
f^{-1}
f−1，此时称
f
f
f是可逆的。
一点理解
下图直观地展示了单射、满射及双射的区别与联系。
首先是关于映射的定义，映射是函数的推广，所以很多性质都与函数类似，只是集合不只是数集而可以是任意集合。映射的定义是两集合间的一个对应关系，这个关系是唯一确定的，也就是说，定义域中的每个元素都能从值域中找到一个元素与之对应，这是映射必须满足的条件，最下面两幅图显然不满足映射定义（左边的未保证
A
A
A中每一个元素都建立对应，右边的未保证在陪域中有唯一确定的一个元素与之对应），因此不是映射。
其次是单射与满射的理解，满射可以理解为陪域中每一个元素都是由对应法则作用得到的像，也即像充满了整个陪域，因此显然有
f
(
A
)
=
B
f(A)=B
f(A)=B，或者可以理解为陪域中每一个元素都可以找到一个唯一确定的定义域中的元素与之对应；单射可以理解为不能有重复的定义域元素对应到相同的像上，也即不能有“多对一”的对应关系出现。
★
\bigstar
★由于单射的定义是“定义域中不同元素在对应法则下的像不同”，所以根据逆否命题亦真，得到：单射
⟺
\iff
⟺像相同则其原像也相同，这个命题也需要注意。
总之，映射中可以存在“一对一”、“多对一”的对应关系，但是不能出现“一对多”的对应关系，因为这样不能保证定义中的唯一确定的元素与之对应，相当于同一个定义域中元素对应了陪域的多个值，这样会出现歧义。
一些命题与定理
根据上面的定义，可以得出一些有用的结论。
命题1：有限集合间建立双射，两集合元素个数相等
设
A
A
A与
B
B
B都是有限集合，如果存在
A
A
A到
B
B
B的一个双射
f
f
f，那么
A
A
A与
B
B
B的元素个数相等，即
∣
A
∣
=
∣
B
∣
|A|=|B|
∣A∣=∣B∣。
证明
设集合
A
=
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
}
A=\{a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\}
A={a1,a2,⋯,an}，由于
f
f
f是单射，所以像
f
(
a
1
)
,
f
(
a
2
)
,
⋯
,
f
(
a
n
)
f(a_1),\,f(a_2),\,\cdots,\,f(a_n)
f(a1),f(a2),⋯,f(an)两两均不相等，从而值域为
f
(
A
)
=
{
f
(
a
1
)
,
f
(
a
2
)
,
⋯
,
f
(
a
n
)
}
f(A)=\{f(a_1),\,f(a_2),\,\cdots,\,f(a_n)\}
f(A)={f(a1),f(a2),⋯,f(an)}，于是
∣
f
(
A
)
∣
=
n
=
∣
A
∣
|f(A)|=n=|A|
∣f(A)∣=n=∣A∣。又因为
f
f
f是满射，所以
∣
B
∣
=
∣
f
(
A
)
∣
|B|=|f(A)|
∣B∣=∣f(A)∣，所以
∣
A
∣
=
∣
B
∣
|A|=|B|
∣A∣=∣B∣。
命题2：有限集的单射与满射可由元素数相等互相推出
设
A
A
A与
B
B
B都是有限集合，且
∣
A
∣
=
∣
B
∣
|A|=|B|
∣A∣=∣B∣，
f
f
f是
A
A
A到
B
B
B的一个映射。
若
f
f
f是满射，则
f
f
f必为单射；若
f
f
f是单射，则
f
f
f必为满射。
证 明
由满射，得到
∣
f
(
A
)
∣
=
∣
B
∣
|f(A)|=|B|
∣f(A)∣=∣B∣，而
∣
A
∣
=
∣
B
∣
|A|=|B|
∣A∣=∣B∣，所以
∣
f
(
A
)
∣
=
∣
A
∣
|f(A)|=|A|
∣f(A)∣=∣A∣，即必须满足各个像均不同才能使像的个数达到
∣
A
∣
|A|
∣A∣，因此
f
f
f是单射。由单射，得到
∣
f
(
A
)
∣
=
∣
A
∣
|f(A)|=|A|
∣f(A)∣=∣A∣，而
∣
A
∣
=
∣
B
∣
|A|=|B|
∣A∣=∣B∣，所以
∣
f
(
A
)
∣
=
∣
B
∣
|f(A)|=|B|
∣f(A)∣=∣B∣，又因为
f
(
A
)
⊆
B
f(A)\subseteq B
f(A)⊆B恒成立，于是
f
(
A
)
=
B
f(A)=B
f(A)=B，因此
f
f
f是满射。
定理1：映射是可逆的当且仅当其为双射
映射
f
:
A
→
B
f:\,A\to B
f:A→B是可逆的充要条件是
f
f
f是双射。
证 明
必要性：若映射
f
:
A
→
B
f:\,A\to B
f:A→B有逆映射
g
:
B
→
A
g:\,B\to A
g:B→A，那么
f
f
f的值域等于
B
B
B，且
A
A
A中不同元素在
f
f
f下的像不同，因此
f
f
f是双射。
充分性：如果
f
f
f是
A
A
A到
B
B
B的双射，显然根据逆映射的定义，有
f
f
f是可逆的。
题外话
在这里要说一下，百度百科里“满射”词条关于满射定义的描述有一个小问题，应该为“陪域”而不是“值域”，详细请见满射-百度百科讨论。
文中的图形是用Inkscape画的，第一次用，画的有点粗糙了，见谅。